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用户输入：请在泛函分析范畴下，简述谱定理（Spectral Theorem）对于自伴算子在希尔伯特空间的几何意义。

DeepSeek-R1 深度思考过程 (耗时 2.0 秒)

1. 回顾有限维实对称/复厄米特矩阵的正交对角化理论。
2. 将正交对角化推广至无限维无穷维希尔伯特空间 \(H\)。连续谱的存在使得特征向量无法张成全空间。
3. 引入投影测度（Projection-valued measure, PVM）概念，表述积分为 \(A = \int_{\sigma(A)} \lambda \, dE(\lambda)\)。
4. 阐述乘法算子形式的谱定理：任何自伴算子都酉等价于某个 \(L^2\) 空间上的坐标乘法算子。

【自伴算子谱定理的几何图像】：
谱定理本质上是将有限维欧氏空间中的“主轴正交分解”推广到无限维希尔伯特空间。
它表明：任何自伴算子 \(A\) 在几何上都可以被解构为一组相互正交的投影算子在实数轴上的连续加权积分。物理上，这构成了量子力学可观测量具有实数本征态与态空间完备性的严格数学根基。

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